Nacque a Torino il 22 giugno 1897, quinto di sette figli, da una famiglia di origine ebraica appartenente alla piccola borghesia cittadina e crebbe in uno dei quartieri cittadini più sensibili alle idee socialiste, Borgo San Paolo.
Pur potendo continuare gli studi, dopo aver conseguito la licenza tecnica e in seguito alla morte del padre, cominciò a lavorare e divenne meccanico per la Diatto e per la Lancia.
A 16 anni si iscrisse al Partito socialista italiano, presto seguito dalla sorella Rita, anch'essa militante, che nel 1924 divenne la moglie di Palmiro Togliatti.
Dopo la sommossa di Torino dell’agosto 1917, ove partecipò ai moti per la mancanza del pane, contro il carovita e contro la guerra, Mario venne incarcerato sotto la falsa accusa di aver incendiato una chiesa nel corso dei tumulti e fu rilasciato solo nel febbraio del 1919, dopo essere stato segnalato dalla prefettura torinese come un elemento sovversivo che “esercita notevole influenza” specie tra i giovani. Durante il “biennio rosso” si dovette alla sua opera, se la maggioranza della gioventù socialista piemontese, di cui era segretario, aderì alle tesi politiche sui consigli di fabbrica.
Dopo la fondazione del Pci, sotto la diretta influenza di Gramsci, divenne uno dei migliori “quadri” operai del partito comunista e si vide affidare incarichi di crescente responsabilità: segretario, nel 1921, della Camera del lavoro di Pinerolo, si mise in luce per le sue doti direttive e venne delegato al III Congresso del Komintern (come rappresentante dell’Internazionale giovanile) e al II Congresso del KIM.
Rientrò in Italia da Mosca alla fine delle stragi del dicembre 1922 e a Torino riuscì a sfuggire per poco alla morte, dopo essere stato catturato dai fascisti. Rilasciato, si impegnò al fianco di Togliatti nella composizione dell’«Ordine nuovo clandestino», che per qualche settimana riuscì ad apparire illegalmente. In seguito, fu costretto a vivere nascosto perché temeva di rappresaglie. Nel dicembre 1923, fu arrestato. Dimesso dal carcere nel febbraio 1924, diventò corrispondente dell’«Unità» di Torino.
Divenuto ormai uno dei membri più in vista del Pci, nel 1926 dovette espatriare in Francia per sfuggire all'arresto e al confino. Qui lavorò dapprima nell'emigrazione italiana, dirigendo la commissione nazionale manodopera straniera e del 1929, il centro estero della Confederazione generale del lavoro, quindi passò alla sezione propaganda. Nel 1930 fu anche collaboratore di Giuseppe Di Vittorio.
Nel 1936 fu tra i volontari della Guerra civile spagnola.
Rientrato in Francia diresse fino alla chiusura il quotidiano «La voce degli Italiani».
Dal 1939 al 1941 Montagnana fu internato nei campi di concentramento di Vernet d’Ariège e di Les Milles e quando venne liberato emigrò a Città del Messico, dove rimase fino al 1946. Durante l’esilio messicano ebbe modo di scrivere l’autobiografia “Ricordi di un operaio torinese”, che rappresenta un importante contributo alla storia del movimento operaio italiano.
Rientrato in Italia fu chiamato a far parte della Consulta nazionale, poi fu eletto all'Assemblea costituente. Fu deputato (I e II legislatura) e senatore (III legislatura) e si occupò in prevalenza di questioni relative al mondo del lavoro: dal 1952 al 1955, infatti, ricoprì la carica di segretario responsabile della Camera del Lavoro di Milano.
Fu tra le altre cose fondatore dell’Alleanza per la ricreazione popolare (poi Arci).
Morì a Torino l’8 agosto 1960.